Matemática.Números complexos e transformações no plano (II) Aula 28

Aula 28
1° Bimestre
Prof° Walter Spinelli

Números complexos e transformações no plano (II).

Nos não utilizamos os números complexos diariamente,eles servem para gerenciar transformações,por exemplo figuras que se movimentam,que se ampliam,se reduzem  e se distorcem,essas transformações  ocorrem por intermédio dos números complexos.

No plano de Argand temos os números complexos escritos em sua formula polar,temos o eixo real e o eixo imaginário,com coordenadas retangulares corresponde a figura 1.

Na figura 2 temos os Seno e Cosseno.

Circulado em vermelho temos a formula polar dos  números complexos.

Se utilizamos aquele conceito de movimentação de giro,se girarmos 90° vai ate a metade da esfera cada giro corresponde a um numero,temos um vetor que é o valor inicial,exemplo 3 que é a metade da esfera,3 vezes raiz de-1,corresponde ao giro de 90 º,a cada giro tem um numero a ser multiplicado pelo vetor.
Se aplicarmos esse modelo em linhas fica assim:

A adição de números complexos segue a seguinte logica,a soma ou a subtração ,entre partes imaginarias  e reais,está circulado em vermelho.

Veja abaixo uma multiplicação por um numero constante:

O valo de (3,-1) será multiplicado por -2 o valor fica (-6,2) ou seja  o vetor terá o dobro de tamanho do vetor original,neste exemplo temos a ideia de ampliação.

Quando multiplicamos Z e W ele gera o vetor que está virado para baixo em vermelho esse vetor é  o dobro do vetor original.
O modulo desse vetor  é  o tamanho da circunferência que é 4,o argumento que ele forma com o eixo horizontal no sentido positivo é a soma do angulo de 90 º +120 º=210 º
Podemos fazer varias simulações pelo Software Geogebra,veja abaixo:

A reta em verde é o produto da multiplicação entre V e U.
Se o vetor U for fixo,o vetor  V é responsável  pela rotação,em qualquer direção de rotação, se multiplicamos fazemos a rotação positiva somado os ângulos e depois dividimos pela mesma correspondência ele provoca uma rotação no sentido contrario.

Veja outro exemplo:

Como podemos ver na figura os vetores são os números complexos que definem a figura,quando ocorre a movimentação da figura,ocorre a multiplicação dos vetores por um números complexo,eles vão variando  devido a ângulos  que vão se somando por causa das multiplicações sucessivas,dessa maneira os módulos vão aumentando.
A figura cresce devido o aumento dos módulos por meio das multiplicações e rotaciona devido a soma dos ângulos.

Veja os vídeos abaixo: