1° Bimestre
Prof° Walter Spinelli
Números complexos e transformações no plano (I).
Os Números complexos surgiram no século XVI ,o italiano Raphael
Bombelli,que era engenheiro hidráulico,propôs um problema parecido com o que está abaixo:
Problema geométrico
O volume de um cubo é de 4cm cúbicos a mais do que o volume de um paralelepípedo retângulo cujo a área é de 15 cm quadrados e cuja a altura é igual a aresta do cubo.
Qual a medida da aresta do cubo?
Neste caso a aresta da medida do cubo é 4,que está circulado em vermelho.
Após Raphael Bombelli, também no século XVI Cardamo(1501-1576) já resolvia equações cubicas incompletas,com o X ao quadrado,com manipulações algébricas ele chegou a seguinte formula.
Veja abaixo a resolução:
Se pegarmos a equação que está em vermelho e substituirmos as letras por os números que estão circulados em verde,teremos a seguinte equação que está circulada em roxo.
Mas essa equação era algo muito complicado para a época pois dava o resultado de uma raiz de números negativos,´é uma questão a se pensar como essa equação em roxo pode resultar no numero 4.
Já no Século XVIII,Leonard Euler(1707-1783) ele cria a unidade imaginaria que é a raiz de um numero negativo.
Os números imaginários trouxeram uma ampliação enorme para o conjunto numérico, da um novo corpo algébrico para a Matemática.
Anteriormente aos números complexos tínhamos conhecimento dos números reais.
Como podemos ver na figura acima N que é o conjunto dos números naturais,se fizermos uma divisão ou uma subtração podem cair números que não são naturais.
No grupo Z que são os números inteiros é constituída de inteiros negativos,que englobam os números naturais,divisões podem gerar dizimas e decimais que não sejam inteiros.
O grupo Q envolve o conjunto dos números racionais que não são inteiros,eles também poder ter raiz de dois ,três ou quatro pi,que não racionais esses números incluem o conjunto números reais representado por R,ele são irracionais e englobam todos os outros sitados anteriormente.
No conjunto dos números complexos temos números que possuem uma raiz de um número negativo.
Se pensarmos em um numero qualquer ele tem praticamente três funções que estão grifada em verde na figura acima.
Ordenação 1° 2° 3° para ordenar posições.
Quantificação por exemplo a minha altura e a altura de um outro individuo.
Codificação o numero do meu telefone,o endereço da minha casa e etc.
Ou seja a comparação entre os números.
Essas três funções elementares para a utilização dos números não se aplicam aos números complexos.
Veja abaixo:
Se utilizarmos uma reta numérica tem um vetor que parte do inicio e indica o número 3,quando utilizarmos a função descrita em verde que o resultado é -3,ele faz um giro de 180º do valor inicial 3 e vai parar em -3.
A multiplicação por -1 significa fazer um giro em volta desse vetor.
Se multiplicarmos por -1 novamente ele faz um novo giro e para em 3,que corresponde a figura 2.
Suponhamos que queremos um número que gire somente 90 º na minha reta que número é esse 3x ???
Para que geremos um vetor que gere 90 º graus é necessário multiplicar pela raiz de -1,que á a nossa unidade imaginaria,essa logica de movimentação é o principio inicial dos números complexos,não somente para giros,mas também para ampliações e transformações de qualquer número.
se fizermos um giro do eixo real que 3 até um angulo de 45 º, a necessidade de fazer a multiplicação por um determinado fator.
O fator é este circulado na figura abaixo na cor vermelha,esses valores são Seno e Cosseno de 45 º.
Transformação de rotação positivas ou negativas,elas envolvem multiplicação com números
complexos.
Argand Gauss
Argand Gauss era um Matemático do século XVIII,ele cria um novo modelo,ele utiliza o eixo horizontal que era chamado de eixo real e o eixo imaginário que era o eixo vertical.
Veja nas figuras abaixo:
Na primeira figura encontraremos os valores de A no eixo real e os valores de B no eixo imaginário,utilizamos coordenadas retangulares.
Na figura 2 já temos a quantidade de graus que ocorrera o giro,de forma que esses giros sejam expressados na equação,trabalharemos com coordenadas polares,ela me da o eixo do vetor expresso em Z e o angula que forma o vetor com o eixo.
As coordenadas polares são muito utilizadas em mapas de navegação.
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