Matemática.Geometria da esfera:da Terra ao GPS (I) aula 15

Aula 15

1° Bimestre 

Prof° José Luiz Pastore Mello

Geometria da esfera:da Terra ao GPS.

Entre as formas geométricas tridimensionais a esfera é considerada a mais importante,considerando suas aplicações Exemplos: rolamentos,GPS.

Na segunda dimensão encontramos uma parente próxima a esfera  e circunferência,a elipse.As duas são muito importantes.

Vamos utilizar a geometria ,os movimentos da forma da terra  e movimentos da terra.

O Grego Eratóstenes (250 A.C) era  matemático ,geografo e cientista,ele trabalhou muito com esfera da terra para tirar conclusões de medidas da terra.

Nasce na região que atualmente é a Líbia,que antigamente era uma colonia Grega .

Eratóstenes

Mapa de 250(A.C.) da Época de Eratóstenes

Erastóstenes foi um cientista  e geografo muito importante,ele foi diretor da biblioteca da Alexandria a mais importante do mundo antigo,Havia mais de 700 mil rolos e papiros com todos os conhecimentos científicos da época.

Biblioteca de Alexandria

Erastótenes por trabalhar na biblioteca  e ter contato com diversas pessoas descobriu,um fato que havia uma cidade chamada de Ciene no Egito as margens do Nilo.Nesta cidade havia um poço e  dia 21 de junho acontecia algo diferente nessa cidade,por volta do meio dia  o fundo desse poço,ficava totalmente iluminado pela luz do sol, esse fenômeno só ocorria uma vez ao ano.
Com o conhecimento desse fato Eratóstenes propôs a idea de  um modelo,para tentar calcular a circunferência da terra e depois consequentemente ele conseguiu calcular a medida do raio da terra.

Se fincarmos uma vara na cidade de Ciene no chão  no dia 21 de junho por volta do meio dia ela produz sombra 0.
Mas em cidades vizinha se fincarmos a vara no chão ela produziram uma sombra de 7,2 graus.
No calculo Eratóstenes  também utilizou a distancia entre as cidades,nas medidas atuais os 5000 mil estádios equivalem a 850 km.
Veja abaixo o exemplo de calculo  de Eratóstenes para calcular a circunferência da terra.

Ambas varas foram fincadas no solo e o prolongamento delas miram para o centro da terra.
Eratóstenes  calculou a circunferência da terra fazendo uma regra de três.
7,2º esta para a distância das cidades 850Km;
A distancia da circunferência da terra 360º está para  X.
O resultado foi X= 42,500 Km
O erro foi  pequeno de 6% devido  a época os instrumentos de estudos era precários.
A terra mede a circunferência de 40,000 mil Km.
A partir do caculo da circunferência da terra Eratóstenes calculou o raio da terra.
Eratóstenes veio posteriormente a Arquimedes na época de Arquimedes já se sabia calcular a forma das circunferências,já se conhecia o  valor de Pi, através da formula de dois píere no comprimento da circunferência ele chegou ao calculo do raio da terra, cerca de 6,764 Km,houve o mesmo erro de 6%.

Modelo de circunferência da terra.

A terra não é uma esfera como supos Eratóstenes,ela próxima a uma esfera ,mais é achatada nos seus polos.

Formando uma elipse.

Ela é praticamente considerada uma esfera para efeito de estudos que fazemos dos estudos da terra.

Na época de Eratóstenes  e após a ele até o século XV e XVI acreditava-se que a terra era o centro e os planetas giravam em torno da terra.

Com a invenção da luneta foi possível coletar dados do céu,alguns defendiam a ideia que os planetas giravam em torno do sol mais em movimentos circulares.

Johannes Kepler  defendia a ideia que os planetas giravam em torno do sol mas em movimentos elípticos. 

Johannes Kepler (1571-1630)

Ele criou três leis sobre o movimento.

1°Lei: Orbitas Elípticas;

2°Lei: Área proporcional ao tempo;

3° Lei: quadrado do perímetro proporcional ao cubo do raio médio.

Exemplo:

A/2=b/2+c/2

A ao quadrado é igual a B ao quadrado + C ao quadrado.

Se colocarmos um barbante na ponta de baixo do nosso triangulo.

Se verificarmos a distancia entre entre um foco e P(X,Y) e o outro foco resulta e m 2 a.

Se montarmos uma equação do plano cartesiano temos a seguinte equação.

X2/a2+Y2/B2=1

X ao quadrado sobre,A ao quadrado+Y ao quadrado sobre B ao quadrado é  igual a 1

Essa é a equação de uma elipse com A maior que B.

Uma medida importante na elipse é a chamada excentricidade da elipse.

E=C/A

C dividido por A.

Quanto menor a medida estamos mais próximos de uma circunferência,quanto maior a distancia a elipse é mais achatada.

UA é a unidade astronômica a distancia da terra em relação ao sol.

Na segunda lei de Kepler concluímos que para um planeta percorrer a mesma distancia entre dois pontos  no período do periélio a terra está mais próxima do sol,o seu movimento é mais rápido.
Já no período do afélio ela está mais distante do sol e seu movimento é mais lento.

A terceira lei serve para saber quanto tempo o planeta leva para dar uma volta completa em torno do sol.
T2 é o quadrado do período, k é a constante da proporcional, R3 ao cubo do raio médio,no caso da terra seria o semi-eixo maior que nos exemplos seria o A.
Com essa formula podemos calcular a duração de um ano em outros planetas.
Veja o Exemplo: