Matemática.Geometria da esfera: da Terra ou GPS.Aula 16

Aula 16
1° Bimestre
Prof ° José Luiz Pastore Mello

Geometria da esfera: da Terra ou GPS.

Matemática do GPS,sistema de geo posicionamento,de localização de postos sobre a esfera terrestre.

Postos localizados pela  latitude e longitude.

O Meridiano de Greenwich é utilizado como referencia para o fuso horário.
A latitude é a referência  norte e sul   e a longitude leste e oeste.

vejamos um exemplo:

A cidade de São Paulo no Mapa do globo terrestre. 23°32 sul   46°38 oeste.

Abaixo veremos a partir de uma esfera a distancia de um ponto A  e o ponto B.
Suponhamos que seja  a distancia entre a cidade de São Paulo  e a cidade de Lisboa.

É necessário que traçamos uma linha em cima dos dois pontos ,que está representada em vermelho,essa linha é a distancia mais curta entre os dois pontos.
A circunferência máxima que está em preto,que  passa por A e B tem 360°
Se medirmos a distancia de A e B e tivermos os ângulos,conseguimos medir a distancia entre os dois pontos.

Distancia calculada pelo Tempo.

 Nesta figura podemos observar um satélite,enviando ondas de radio para a Terra.

É necessário medir o tempo em um relógio atômico,e preciso saber a velocidade que a onda de radio percorre do satélite até a Terra,que é  a velocidade da luz,cerca de 300 mil km por segundo.

O tempo que a onda saiu do satélite e demorou para chegar a Terra está em vermelho.

A velocidade da luz está circulado em azul.

Circulado de amarelo é  a distancia do satélite sobre um ponto da Terra.

 Teorema das quatro esferas.

 Se quatro superfícies esféricas de centros não coplanares se intersectam,estão essas intersecções se dá a um único ponto.

Vaja o exemplo:
1° satélite.

 Neste exemplo o Satélite manda uma onda  de 20,000 k para a terra,ela produz uma circunferência na esfera terrestre,esses pontos circulados em vermelho,é o raio  emitido pelo satélite na superfície terrestre.

2° Satélite.

 O raio do 2° satélite ,mais a esfera da Terra e o 1° satélite,vão produzir dois pontos.Essa é a itersecção de dois  pontos,por três esferas.

3° Satélite.

 Os três satélites mais a esfera da Terra vão determinar um único ponto.

Para demonstra isso usaremos a geometria junto com a álgebra,usaremos coordenadas cartesianas ,eixo X,Y e Z,neste caso estamos falando da dimensão em 3D.

Neste exemplo o ponto de origem é o=(0,0,0).

Se queremos calcular a distancia  entre os pontos P=(X,Y,Z) e o plano cartesiano que está em  C=(A,B,C)

Se igualarmos a distancia a um numero,valor numérico real positivo,ela é igualada  um valor constante,mapiamos todos os pontos de uma esfera,está circulado em vermelho.

R é o numero real positivo, r em referencia ao raio da esfera.

Em verde equação reduzida de uma esfera

Em azul temos a equação geral de uma circunferência.

A letra K representa :

No teorema das quatro esfera, cada uma  pode ser modelada por uma equação semeante a essa.

Neste exemplo podemos substituir as letra i,por numeração pra identificar as esferas.

Dividiremos as quaro equações por dois para sumir o sobre dois.

A primeira equação  multiplicaremos por -1.

Como a primeira equação foi multiplicada por -1,foram trocados todos os sinais dessa equação. 

Ao somarmos a 1° equação com a 2°,depois a 1° com a 3° e a 1° com a 4°obtemos o esquema descrito abaixo.

Ouve uma redução de quatro equações para três.

Essas equações são de plano cartesiano,temos três planos e queremos mostrar que a intersecção desses planos chegue a um ponto.

Possibilidades de intersecção entre três planos.

No caso do GPS fazendo manipulações algébricas,ele se reduz a um sistema  três equações  e três incógnitas cuja solução é unica e representada pela primeira figura em vermelho,intersecção de três planos,se dando em um único  ponto.

No sistema de geo posicionamento temos 24 satélites em orbita em torno a Terra,qualquer ponto da terra recebe pelo menos informações de quatro satélites,essas informações produzem a intersecção das esferas,elas possuem centros não coplanares,a intersectação terá apenas um ponto de localização da Terra.

No sistema GPS quanto mais satélites melhor para a localização exata,geralmente temos quatro satélites em torno de cada ponto,mas a ocasiões que podem chagar a dez satélites,isso aumenta muito a precisam dos pontos.